THEMEN
Wenn Sie eigene Vorschläge haben, wenden Sie sich gerne an einen unserer Mitarbeiter. Prinzipiell kann jedes Thema im Umfang angepasst werden, sodass es für eine Bachelor-, Master- oder Diplomarbeit passend ist.
Algorithmen
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Starke Hintertüren in Default-Logik
Gegeben eine aussangelogische Formel und eine Teilmenge X ihrer Variablen, sagt man, dass X eine starke HORN-Hintertür für die Formel ist, wenn für alle Belegungen über den Variablen aus X die resultierende Formel eine HORN-Formel ist.
Default-Logik ist eine Erweiterung einer Logik um sogenannte Default-Regeln. Diese Regeln sind Formel-Tripel bestehend aus einer Vorbedingung, einer Rechtfertigung und einer Schlussfolgerung. Gegeben eine Wissensbasis (Menge von Formeln) sowie eine Menge von Default-Regeln, fragt man in einem wichtigen Entscheidungsproblem nach der Existenz einer stabilen Erweiterung. Diese Erweiterungen spiegeln im Prinzip das folgerbare Wissen aus der Wissensbasis unter Anwendung der Default-Regeln wider.
Kürzlich haben Fichte und andere [1] das Konzept von Hintertüren in Default-Logik eingeführt und hinsichtlich seiner parametrisierten Komplexität analysiert.
In einer weiteren Veröffentlichung von Egly und anderen [2] wurde ein Framework entwickelt, mit dem Probleme aus der Polynomialzeithierarchie über QBF-Formeln gelöst werden können.
In der Arbeit soll das Framework von [2] auf die Resultate in [1] angewendet werden.
[1] Strong Backdoors for Default Logic. Johannes K. Fichte, Arne Meier, Irina Schindler (2016)
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Komplexitätstheorie
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Komplexität mathematischer Operationen
Die Grundlage vieler Algorithmen sind mathematische Operationen. Um
einen Algorithmus wirklich effizient programmieren zu können, geht daher
auch kein Weg an der Komplexitätsanalyse mathematischer Operationen vorbei.
Ziel dieser Abschlussarbeit ist es, ausgewählte mathematische Operationen
bezüglich ihrer Komplexität zu untersuchen.(Ideenliste:
https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_complexity_of_mathematical_operations)Leitung der Abschlussarbeit
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Polygon-Triangulierung
Ein bekanntes Problem aus dem Bereich der 'Computational Geometry' ist
die sogenannte Polygon-Triangulierung. Hierbei geht es darum, ein
gegebenes Polygon in Dreiecke zu unterteilen. Die Anzahl aller
Polygon-Triangulierungen eines (nicht einfachen) Polygons zu berechnen,
ist #P-vollständig. (https://arxiv.org/pdf/1903.04737.pdf)
Im Rahmen der Abschlussarbeit sollen nun verschiedene Algorithmen
komplexitätstheoretisch analysiert werden und ggf. auf Spezialfälle
eingegrenzt werden oder Schwere- und Härteresultate von verwandten
Probleme bewiesen werden.Leitung der Abschlussarbeit
Ansprechpartner der Abschlussarbeit
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Enumeration in modaler Logik
Enumerationskomplexität befasst sich mit der Ausgabe aller Lösung ohne Duplikate einer Eingabe. Hierbei handelt es sich häufig um Algorithmen mit exponentieller Laufzeit. Aus diesem Grund klassifiziert man diese deterministischen Algorithmen an Hand ihres Delays. Der Delay eines Algorithmus beschreibt die Zeit, die zwischen der Ausgabe von zwei Lösungen verstreicht. Hierbei gibt es zum Beispiel die Klassen DelayP und IncP. Problem in der Klasse DelayP besitzen solche Enumerationsalgorithmen, welche einen polynomiellen Delay in der Eingabelänge besitzen, bei IncP ist der Delay der i-ten Lösung ein Polynom in der Eingabelänge und des Lösungsindex.
In der Arbeit soll die Enumerationskomplexität von Problemen in der Modallogik betrachtet werden. Gegeben eine modallogische Formel sowie ein Model, ist die Menge der Teilbäume gesucht, die die Formel erfüllen.
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Separation von Formeln und nicht-uniformen Schaltkreisen für AC0[xor]
In dieser Arbeit soll ein aktuelles Resultat nachvollzogen und im Gesamtkontext dargestellt werden. Es geht um den Vergleich der Mächtigkeit von Formeln und Schaltkreisen. AC0[xor]-Schaltkreise verwenden Gatter der Form AND, OR, NOT und MOD 2 von unbeschränktem Eingangsgrad. Bei der Fragestellung handelt es sich um eine Einschränkung der generellen Frage, ob NC1 (Sprachen, für die es polynomiell große Boole'sche Formeln gibt) eine echte Teilklasse von P/poly (Sprachen, für die es einen polynomiell großen Boole'schen Schaltkreis gibt) ist.
Leitung und Ansprechpartner der Abschlussarbeit
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New circuit lower bound II
Die Permanente ist eine Eigenschaft von Matrizen und ist ganz ähnlich zur Determinante definiert, weist aber interessanterweise sehr unterschiedliche Komplexitätseigenschaften auf. Die bestehenden Resultate über die Komplexität der Permanente sollen zusammengefasst werden.
Siehe auch: Gödels Lost Letter
Leitung und Ansprechpartner der Abschlussarbeit
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Computational Social Choice Theory
Beziehungen zwischen der Computational Social Choice Theory und der Komplexitätstheorie sollen zusammengefasst werden.
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Fine-grained complexity
In den vergangenen etwa 10 Jahren wurden zahlreiche Beziehungen zwischen Laufzeiten optimaler Algorithmen für kombinatorische Probleme gefunden, z. B. zwischen der Laufzeit des All-pairs-Shortest-Path-Problem und der des Triangle-Problems. Zu dem Themengebiet liegen verschiedene Überblickartikel und Skripten vor (siehe etwa [1]). Ein Überblick über das Gebiet soll verfasst werden.
Leitung und Ansprechpartner der Abschlussarbeit
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Algebraische Charakterisierungen von Komplexitätsklassen
Von vielen wichtigen Komplexitätsklassen ist bekannt, dass sie aus sehr einfachen Funktionen (Nachfolger, Identität, etc.) mit Hilfe verschiedener Rekursionsschema generiert werden können. Einzelresultate dieses Gebietes sollen dargestellt werden.
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Kryptographie
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Zero-Knowledge Beweise am Beispiel des Rubik's Cube
Zero-Knowledge Beweise sind in der Kryptographie nicht mehr wegzudenken.
Mithilfe dieser Beweise kann ein Prover einem Verifier zeigen, dass er
ein Geheimnis kennt, ohne es preisgeben zu müssen.
Im Rahmen dieser Abschlussarbeit soll ein Ansatz nachvollzogen
werden, der auf nicht-abelschen Gruppen basiert und sich mithilfe des
Zauberwürfels visualisieren lässt.Hauptquelle: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-02937-5_5
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Logik
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Unabhängigkeitsresultate
Viele Beziehungen zwischen Komplexitätsklassen sind trotz jahrzehntelanger Forschungen noch ungeklärt; am bekanntesten ist das P-NP-Problem, also die Frage, ob die Klassen P und NP zusammenfallen. In der Logik wurde die Frage untersucht, ob das P-NP-Problem und weitere offene Fragen vielleicht gar nicht mit mathematisch-logischen Mitteln gelöst werden können. Aussagen, die in einer bestimmten logischen Theorie weder bewiesen noch widerlegt werden können, nennt man unabhängig von der Theorie. Erstaunlich einfache Unabhängigkeitsresultate sind bekannt. In dieser Arbeit soll ein Überblick über diese Untersuchungen gegeben werden.
Link: A Relatively Small Turing Machine Whose Behavior Is Independent of Set Theory https://arxiv.org/abs/1605.04343
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Komplexität logischer Theorien
Prädikatenlogische Theorien sind im Allgemeinen unentscheidbar. Für viele bedeutende eingeschränkte Theorien sind jedoch Entscheidungsalgorithmen bekannt. Einzelresultate aus diesem Gebiet sollen nachvollzogen werden. Rein theoretische Abschlussarbeiten, aber auch solche mit Implementationsaspekt sind möglich.
Siehe: Egon Börger et al., The Classical Decision Problem, Springer-Verlag, 1997.
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